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三射线定理及其典型应用

数海拾贝 2020-09-15 14:35:59

三射线定理    如图, 分别是从 出发的三条射线, 分别为 ,二面角 (记其大小为 )满足:

三射线定理描述了异面共边的两个角的另外两边构成的角(空间斜角)与这两个角形成的二面角(空间正角)之间的数量关系,因此往往用来求二面角的大小或者空间斜角的大小.三射线定理中的基本图形又称为三面角.

证明    如图,过射线 上一点 作垂直于 的平面,射线 分别与该平面相交于 两点.

方法一    利用空间向量

根据已知,有

于是两边同除以

方法二    利用余弦定理

在三角形 和三角形 中分别应用余弦定理,有

两式相减得

移项整理即得.

三射线定理的记忆    可以借助两角差的余弦公式记忆,当 时,三射线定理退化为两角和与差的余弦公式.当 时,三射线定理变成注明的三余弦定理:

接下来通过两道例题说明该定理在空间求角时的作用.

例1 (知斜求正)如图,在直角三角形 中, 为直角, 分别是 上的点,且 ,将 沿 折起到 的位置,使 .求平面 与平面 所成锐角的余弦值.

   这是一道由2012年高考北京卷理科数学第16题改编的习题.

如图,在底面 里分别延长 ,交于 (实际上就是在未折叠的三角形 还原在直观图中),于是所求的锐角就是二面角 的大小.

我们可以利用三面角 中解决问题.令 ,而

于是

解得

事实上,取 的中点 ,则 即为二面角 的平面角.

例2(知正求斜)如图,在长方形 中, 中点, 为线段 (端点除外)上一动点.现将 沿 折起,使平面 与平面 垂直.在平面 内过点 为垂足.设 ,则 的取值范围是_______.

   这是2009年高考浙江卷理科数学第17题.

我们可以利用三面角 解决问题.令 ,且 ,于是可得

于是

其取值范围不难求得为

接下来给出两道练习题.

练习1、如图, 是半径为 的球的球心,点 在球面上, 两两垂直, 分别是大圆弧 的中点,则点 在该球面上的球面距离是_______.

练习2、如图,一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长均为 ,将正四面体与正四棱锥组合起来,使得正四面体的其中一个面与正四棱锥的一个侧面重合.问得到的多面体有多少个面?

参考答案

练习1、

练习2、组合体为三棱柱,有 个面.


更多的内容可以参考:

《每日一题[46] 三射线定理》

《每日一题[154] 折叠中的二面角》

《每日一题[202] 又见三射线》

《每日一题[255] 代表平面—出击!》

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